LA MATEMATICA INCOMPRESA

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Organizzazione di una miniconferenza a scuola sull’importanza e la modernità della matematica con la visione del film “A beautiful mind”, un accenno alla Teoria dei Gochi e un’esercitazione sul “Dilemma del prigioniero”
L’idea di introdurre la teoria matematica dei giochi alle superiori, ed in particolare attraverso una miniconferenza dedicata ad una o più classi dello stesso anno (da una terza classe in poi), deriva dalla possibilità di avvicinare, attraverso la sua esposizione, l’interesse di chi istintivamente rifugge dall’astrattezza o dal formalismo matematico. Essa suscita una curiosità, una voglia di capire un ragionamento matematico, che altre parti della matematica difficilmente riescono ad indurre.
Molti esempi e studi infatti sono effettuati proprio su giochi: la morra cinese, il tris, gli scacchi e questo risulta uno dei momenti essenziali nell’insegnamento della matematica come riconoscono anche i cosiddetti saggi della commissione ministeriale incaricata di studiare i nuovi programmi della nostra scuola. Scrivono infatti, in un recente documento: “Sembra essenziale che bambini e ragazzi non perdano il piacere del matematizzare, non siano demotivati da eccessi di formalismo e siano aiutati dagli insegnanti e dagli stessi compagni a pensare a percorsi alternativi di soluzione, privilegiando il punto di vista del problem solving”. Le stesse cose le diceva già, cent’anni fa, Peano: “I calcoli sui numeri astratti diventano più divertenti, se fatti sotto forma di giochi“. E osservava giustamente: “L’insegnamento dogmatico delle nozioni aritmetiche e geometriche, insidia non solo la formazione dell’intelligenza verso il vuoto e l’artificioso, ma ancor più il carattere morale, cui diverrebbe familiare l’insincerità”. Dal gioco al problem solving e da questi al teorema e ai concetti matematici. Questa è sicuramente la strada più semplice per riportare il giovane alla matematica, fargli scoprire il piacere di una scoperta intellettuale, della capacità di saper svolgere un ragionamento corretto, in una situazione di confronto e di sportiva competizione con i suoi compagni e con l’insegnante.
La nascita della Teoria dei Giochi, infatti, viene convenzionalmente fissata con l’uscita del libro di Von Neumann-Morgestern, Theory of Gamesand Economic Behavior del 1944, se confrontiamo questa data con quella della nascita della geometria o della fisica, ne concludiamo appunto che stiamo parlando di una scienza bambina; ha dunque tutti i pregi ed anche, forse, i pochi difetti di una giovane creatura. Si spazia dall’analisi dei più semplici giochi “a somma zero” (io vinco e tu perdi) a quella dei sistemi per organizzare le aste pubbliche (come è accaduto nel caso delle licenze per i cellulari di nuova generazione Umts), dall’ottimizzazione alla risoluzione di problemi di programmazione lineare.
Viste le molteplici applicazioni della Teoria dei Giochi: dal campo economico a quello militare, al biologico, al sociologico, allo psicologico, al finanziario, al politico, all’ambientale e a quello sportivo; si vuole stimolare l’interesse verso i modelli matematici e mostrare l’importanza e l’efficacia della matematizzazione (una nota a favore della matematica applicata in generale poco considerata negli atenei universitari).
La Teoria dei giochi analizza situazioni di conflitto e ne ricerca soluzioni competitive e cooperative. L’interazione fra gli individui si esprime nel fatto che il risultato conseguito da ciascuno dipende non solo dalle sue azioni, ma anche da quelle altrui, proprio come succede di solito nel gioco. Cosicché gli studi su di esso possono facilmente suscitare discussioni, fornire spunti per riflessioni nuove ed essere divertenti, almeno per coloro che non hanno riportato danni permanenti e non si sono convinti che le formule di prostaferesi sono un argomento importante ed interessante.
I legami naturali che la Teoria dei giochi ha con le altre discipline, dalla filosofia all’informatica, costituiscono uno stimolo per lo svolgimento di un lavoro multidisciplinare di grande efficacia formativa. é infatti capace di proporre, in maniera originale, questioni profonde, che si legano ad altre discipline e non solo, ma anche agli aspetti più importanti del pensiero umano. Certo, anche la matematica pura ha aspetti che interessano i filosofi della scienza: pensiamo al teorema di Gödel. Provate però a spiegare questo teorema ad una persona pur curiosa e sveglia, ma senza una cultura (universitaria) matematica: temo ci sarebbero non poche difficoltà. Invece la teoria dei giochi pone problemi semplici, per esempio sul concetto di razionalità, che tutti possono intuire, anche senza solide basi matematiche. Un celebre esempio: il dilemma del prigioniero, modello di situazioni che si pongono mille volte alla nostra attenzione, ma che solo attraverso la sua matematizzazione si è chiarito in termini precisi.
Questa connessione fra scienza e cinema è dovuta principalmente alle tormentate vicende del grande matematico e all’importanza delle sue scoperte; John Nash è qualcosa di più di un “Nobel” (ricordo che nel 1994 gli è stato assegnato il premio Nobel per l’economia), visto che i suoi lavori sulla teoria dei giochi sono noti a gran parte degli studenti di scienze economiche in tutto il mondo. Il film diretto da Ron Howard e interpretato da Russell Crowe, che racconta la storia del matematico e della sua battaglia contro la schizofrenia, ha vinto nel 2002 il “Golden Globe” come miglior film drammatico e quattro premi Oscar (miglior film, miglior regia, miglior attrice non protagonista (Jennifer Connely) e miglior sceneggiatura non originale).

A seguito del film l’idea è quella di presentare dapprima il dilemma del prigioniero nella forma classica data dalla seguente tabella:
Detenuto A \ Detenuto B
Confessa (Diserta)
Non Confessa (Coopera)
Confessa (Diserta)
(2 anni; 2 anni)
(libero; 6 anni)
Non Confessa (Coopera)
(6 anni; libero)
(30 giorni; 30 giorni)

Due individui A e B sono stati arrestati per lo stesso reato e vengono interrogati separatamente dal giudice; ognuno può scegliere indipendentemente dall’altro di confessare (C) o non confessare (NC). Se entrambi non confessano, vengono condannati per reati minori a 30 giorni ciascuno, se entrambi confessano vengono condannati a 2 anni ciascuno, se uno confessa e l’altro no quello che confessa viene considerato un pentito prezioso e per questo liberato, mentre l’altro, irriducibile, viene condannato al massimo della pena. Le pene sono riportate nella tabella come coppia (Detenuto A, Detenuto B). Ragionevolmente A sceglie di confessare poichè consegue una condanna minore qualunque sia la scelta di B e analogamente B sceglie anch’egli di confessare. La decisione attesa è quindi (C, C) a cui corrisponde una condanna a 2 anni per ciascuno (equilibrio in strategie dominanti), mentre per entrambi sarebbe più vantaggiosa la scelta (NC, NC) con 30 giorni per ciascuno.
Dopodiché, seguendo il percorso suggerito dal sito http://www.saddleback.edu/ap/la/neh/prisoner.htm, provare ad eseguire una simulazione del gioco in aula per poi sviluppare una discussione sulle scelte effettuate. La Teoria dei Giochi, come quella delle scienze sociali, si pone il duplice scopo di spiegare, da una parte, i comportamenti d’interazione fra gli individui e, dall’altra, di suggerire comportamenti “ottimali”, finalizzati a migliorare la situazione rispetto a soluzioni “non scientifiche”. Il Dilemma del prigioniero mostra una situazione in cui un comportamento razionale prescrive ai giocatori un comportamento che li porta ad una situazione peggiore, per entrambi, di un’altra possibile.
Interessante è l’analisi del politologo americano Robert Axelrod (1984) del Dilemma e le applicazioni alla formazione ed in particolare all’apprendimento cooperativo(*).
“Il guadagno che deriva dalla mutua cooperazione nel dilemma del prigioniero (30g )è minore rispetto a quello che si otterrebbe nel caso in cui uno di loro non cooperi (libero), di conseguenza sussisterebbe sempre una “tentazione” a non cooperare, anche se non è un assunto sempre valido. Ad esempio, è facile immaginare che due lupi assieme sarebbero in grado di uccidere un animale che è due volte più grande di quello che uno dei due potrebbe uccidere da solo. Anche nel caso in cui un lupo “altruista” uccidesse un coniglio per darlo all’altro senza ottenere nulla in cambio, il lupo egoista avrà meno da mangiare rispetto al caso in cui avesse aiutato il suo compagno ad uccidere un cervo.”

Un’altra interessante applicazione è nel contratto sociale di Hobbes (“Il Leviatano” 1657). Si passa dallo stato di “homo homini lupus” allo Stato istituzionale. Giustificato dal fatto che altrimenti (30 g, 30 g) non si avrebbe mai perché non è la strategia dominante (se invece prima di andare nelle stanzette separate si accordassero sulla decisione da prendere). Attenzione: se l’accordo non è vincolante la tentazione di guadagnare la libertà è forte e quindi l’accordo risulta instabile. L‘interesse nell’inventarsi delle istituzioni sta proprio nel cercare di sfuggire a risultati inefficienti.
Il film proposto in visione è solo l’inizio di un possibile discorso più ampio sulla Teoria dei giochi. Ad essa sono infatti legate altre possibili sceneggiature da proporre. Seguiamo il seguente esempio.
Uno stato nazionale A è dotato di una superiore potenza militare convenzionale rispetto allo stato nazionale B che è però in grado eventualmente di reagire scatenando una guerra atomica di distruzione totale. A deve decidere se avviare o meno un attacco convenzionale — o comunque con un potenziale distruttivo ‘limitato’— contro B. Si noti che una variante notevole di questa situazione è quella in cui B è dotato di un affidabile dispositivo automatico di risposta nucleare ‘totale’ ad un attacco: la distinzione tra i due casi gioca un ruolo centrale e paradossale nella trama del famoso film di Stanley Kubrick “Il dottor Stranamore”.

Verifica e valutazione

Quello che si intende promuovere con questa presentazione non è certo l’acquisizione di nuovi contenuti, ma piuttosto uno stimolo per l’apprendimento. Si vuole dare una motivazione anche agli allievi che nelle tradizionali verifiche selettive si trovano in difficoltà, dando loro la possibilità di attivare strategie, verificare ipotesi e confrontarsi con i pari. Di fronte alle problematiche presentate infatti partono tutti con le medesime conoscenze e la possibilità di attivare ognuno le proprie abilità cognitive è notevole. In questa ottica si possono valutare gli esiti degli apprendimenti degli allievi oltre che con l’osservazione della partecipazione alle discussioni, proponendo un test con domande sul film legate alla teoria dei giochi (ad esempio sulla razionalità delle scelte oppure a quanto si è stati stimolati per una ricerca personale), con l’aggiunta di altri semplici esempi da far risolvere direttamente agli allievi (interessante l’esempio delle cinque dita).
BIBLIOGRAFIA e REFERENZE:

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